— 무리수의 발견과 학파의 위기
정사각형 대각선에서 출발해 통약불가능성과 무리수를 이해하고, 증명과 히파소스의 죽음 전설을 구별합니다.
대각선을 실제로 그릴 수 있는데도 왜 그 길이를 분수로 나타내지 못할까요?
한 변을 1로 정한 정사각형에 대각선을 그어 봅시다. 피타고라스 정리로 계산하면 대각선의 길이 d는 d²=1²+1²=2를 만족합니다. 따라서 길이는 √2입니다. 종이에 그은 선은 평범하지만, 이 길이를 정확한 정수의 비로 표현하려 하면 예상하지 못한 문제가 나타납니다.
길이 2와 길이 3인 막대는 길이 1의 단위로 각각 두 번, 세 번 재면 남는 부분이 없습니다. 더 복잡한 분수 길이도 알맞게 작은 공통 단위를 정할 수 있습니다. 이렇게 같은 단위의 정수 배로 두 길이를 나타낼 수 있는 경우를 통약가능(commensurable)하다고 합니다. 단위가 눈에 보일 만큼 클 필요는 없습니다.
직접 확인해 봅시다. √2=p/q라고 가정하고 p와 q는 공약수가 없는 양의 정수로 잡습니다. 양변을 제곱하면 p²=2q²이므로 p²은 짝수입니다. 홀수의 제곱은 홀수이므로 p도 짝수여야 합니다. p=2k로 놓아 대입하면 4k²=2q², 따라서 q²=2k²입니다. 같은 이유로 q도 짝수가 됩니다.
히파소스(Hippasus)가 무리수를 공개해 바다에서 죽었다는 이야기는 널리 반복됩니다. 그러나 관련 전승은 늦고 내용이 서로 다르며, 도형의 공개와 벌에 관한 다른 이야기들도 얽혀 있습니다. 발견자가 누구였는지와 어떤 사건 때문에 어떻게 죽었는지를 하나의 확정된 줄거리로 묶을 수 없습니다.
자로 대각선을 재면 1.4 정도라는 값을 얻을 수 있고 더 정밀한 도구로 자릿수를 늘릴 수도 있습니다. 그러나 측정값에는 오차가 있습니다. 소수가 많이 이어져 보인다는 관찰만으로 끝까지 반복되지 않음을 증명할 수는 없습니다. 근삿값을 구하는 일과 분수 표현의 불가능성을 논증하는 일의 목표가 다릅니다.
정사각형을 그리고 변과 대각선을 잽니다. 측정값 옆에 오차 가능성을 씁니다. 이어 귀류법의 가정 / 추론 / 모순 / 결론 네 칸을 채우고 두 활동의 차이를 설명합니다. 마지막으로 발견사에서 확정할 수 없는 항목을 표시합니다.
한 변이 1인 정사각형의 대각선 길이는?
통약불가능하다는 뜻은?
귀류법에서 얻은 모순은?
히파소스의 죽음에 대한 적절한 설명은?
무리수는 어떤 수인가요?
통약불가능은 단위를 아직 찾지 못했다는 말과 어떻게 다른가요?
귀류법에서 p와 q가 모두 짝수라는 결론이 왜 문제가 되나요?
히파소스 전설을 소개하면서도 사실과 구별하는 문장을 만들어 보세요.
과제 · 활동지를 풀고 서술형 문항에 자기 생각을 정리해 오기 웹 레슨 · https://101scenes.com/ko/philosophy/005-irrational-numbers/