행성 궤도가 타원이라는 말은 모양에 대한 이야기가 아닙니다. 속력이 어디서 빨라지는지, 주기가 왜 그 값인지가 전부 여기서 따라 나옵니다.
지구는 태양에서 가장 가까울 때와 가장 멀 때의 거리가 3% 남짓밖에 차이 나지 않습니다. 거의 원인 셈이죠. 그런데 왜 굳이 "타원"이라고 배울까요? 타원이라는 한 단어에서 무엇이 따라 나오길래 그럴까요?
행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다. 여기서 결정적인 단어는 "타원"이 아니라 한 초점입니다. 타원에는 초점이 둘 있는데, 태양은 그중 하나에만 있습니다. 중심이 아닙니다.
그래서 행성과 태양 사이의 거리가 공전하는 동안 계속 변합니다. 가장 가까운 지점을 근일점, 가장 먼 지점을 원일점이라고 합니다. 이 거리 변화가 뒤에 나올 두 법칙을 전부 끌고 나옵니다.
궤도가 원에서 얼마나 벗어났는지를 하나의 숫자로 나타낸 것이 이심률 e 입니다. 초점 거리 c 를 긴반지름 a 로 나눈 값입니다.
e = c / a = √( a² − b² ) / a = √( 1 − (b/a)² )
긴반지름과 짧은반지름의 차이가 클수록 e 가 커집니다. 두 반지름이 같으면(a=b) e=0 이고, 그것이 곧 원입니다.
이심률은 타원에서만 쓰는 값이 아닙니다. 값의 범위에 따라 궤도의 종류 자체가 달라집니다.
행성은 모두 e<1 입니다. 지구는 0.0167 로 거의 원에 가깝고, 행성 중 가장 찌그러진 수성도 0.206 정도입니다. 그림에서 본 눈에 띄는 타원은 실제 행성 궤도가 아니라 이해를 위해 과장한 모양입니다.
궤도 모양은 우연이 아닙니다. 천체가 가진 총에너지의 부호가 결정합니다. 총에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합입니다.
E = EK + EP = ½mv² + ( − GMm/r )
중력 퍼텐셜 에너지에 음의 부호가 붙는다는 점이 핵심입니다. 무한히 먼 곳을 기준(0)으로 잡았기 때문입니다.
천체를 무한히 멀리 보내려면 최소한 얼마의 속력이 필요할까요. 무한히 먼 곳에서 EK=0, EP=0 이 되어야 하므로 E=0 인 경우를 풀면 됩니다. 그렇게 나오는 값이 탈출 속도입니다.
이 속도를 기준으로 궤도가 갈립니다.
| 총에너지 | 속력 | 궤도 | 결과 |
|---|---|---|---|
| E < 0 | v < √(2GM/r) | 원 또는 타원 | 중심별에 묶인다 |
| E = 0 | v = √(2GM/r) | 포물선 | 가까스로 벗어난다 |
| E > 0 | v > √(2GM/r) | 쌍곡선 | 여유 있게 벗어난다 |
행성이 타원을 도는 이유가 여기서 나옵니다. 행성의 총에너지가 음수이기 때문입니다. 탈출 속도에 못 미치는 속력으로 태양 곁에 붙잡혀 있는 상태, 그것이 타원 궤도입니다. 가끔 태양계를 스쳐 지나가는 성간 천체가 쌍곡선 궤도로 관측되는 것도 같은 이유입니다.
행성과 태양을 이은 선이 단위 시간 동안 휩쓸고 간 면적은 항상 일정하다. 말이 어렵지만 그림으로 보면 한눈에 들어옵니다.
결론은 간단합니다. 근일점에서 공전 속력이 가장 빠르고, 원일점에서 가장 느립니다.
왜 그런지는 앞 장의 에너지로 다시 설명됩니다. 역학적 에너지가 보존되는 상황에서 근일점은 태양에 가까워 위치 에너지가 작습니다. 그만큼 운동 에너지가 커야 총합이 유지되므로 속력이 빠릅니다. 원일점에서는 반대로 위치 에너지가 커서 운동 에너지가 작고, 그래서 느립니다.
"면적 속도가 일정하다"는 말과 "각속도가 일정하다"는 말은 전혀 다릅니다. 등속 원운동이라면 둘 다 일정하지만, 타원 궤도에서는 면적 속도만 일정하고 각속도와 공전 속력은 계속 변합니다.
행성의 공전 주기의 제곱은 궤도 긴반지름의 세제곱에 비례한다. 태양계에서 주기를 년, 긴반지름을 AU 로 재면 비례상수가 1 이 되어 P² = a³ 라는 깔끔한 식이 됩니다.
이 식은 외워야 하는 규칙이 아니라 힘의 균형에서 유도되는 결과입니다. 계산을 간단히 하기 위해 원 궤도로 놓고 따라가 보겠습니다.
4단계가 중요합니다. P²=a³ 라는 간단한 형태는 태양계에서 년·AU 단위를 쓸 때만 성립합니다. 다른 항성계에서는 (4π²/GM) 이 1 이 아니므로 그대로 쓸 수 없습니다.
식을 M 에 대해 풀면 M = 4π²a³ / (GP²) 입니다. 천체 주위를 도는 것 하나의 주기와 궤도 크기만 재면 중심 천체의 질량이 나옵니다.
멀리 있는 별의 무게를 저울에 올려 볼 수는 없습니다. 그런데 그 별에 행성이 하나 있고 그 행성의 주기와 궤도 반지름을 관측할 수 있다면, 별의 질량을 계산할 수 있습니다. 외계 행성 연구가 이 식 위에 서 있습니다.
| 과목·영역 | 이 레슨과의 연결 | 성취기준 |
|---|---|---|
| 행성우주과학 — 태양계의 운동 | 케플러 세 법칙으로 태양계 천체의 운동을 설명한다. 이 레슨의 중심 성취기준 | [12행우01-03] |
| 역학과 에너지 — 중력과 천체 운동 | 제3법칙을 만유인력과 원심력의 균형에서 유도하는 과정 | [12역학01-04] |
| 역학과 에너지 — 역학적 에너지와 탈출 속도 | 총에너지의 부호로 궤도 종류가 갈리는 부분. 탈출 속도 유도 | [12역학01-05] |
지구 궤도의 이심률은 0.0167로 거의 원입니다. 그렇다면 우리나라의 계절 변화는 태양과의 거리 차이 때문일까요? 실제로 지구는 1월 초에 근일점을 지납니다. 이 사실이 무엇을 말해 주는지 설명해 보세요.
긴반지름이 같고 이심률만 다른 두 행성이 있습니다. 주기는 같은데 평균 공전 속력은 다릅니다. 모순처럼 보이는 이 상황을 둘레와 주기의 관계로 설명해 보세요.
어떤 혜성이 태양을 한 번 스쳐 지나간 뒤 다시는 돌아오지 않았습니다. 이 혜성의 총에너지 부호와 궤도의 종류는 무엇이었을까요? 그렇게 판단한 근거를 쓰세요.
이 글과 도해는 직접 작성·작도한 것입니다. 특정 저작물의 문장이나 그림을 옮기지 않았습니다. 사실 관계에 오류가 있다면 알려주세요.